代数学入門

著者: 石田伸

1.1 二項算法

Sを空でない集合とするとき，Sの任意な2つの元a, bの順序付けられた組(a,b)に，Sの1つの元cを対応させる法則をSの上の二項算法という。

$SimesSi(a,b)\mapsto c=a\circ b\in S$

• 結合法則: $(a\circ b)\circ c=a\circ (b\circ c)$
• 交換法則: $a\circ b=b\circ a$

1.2 群

Gを空でない集合とする。以下の3条件を満たす二項算法が定義されているとき、Gはこの算法に関して群という：

• G1 結合法則: $(a\circ b)\circ c=a\circ (b\circ c)$
• G2 単位元 e の存在: $a\circ e=e\circ a=a$
• G3 逆元の存在: 各元 a に対し $a\circ a^{\prime }=a^{\prime }\circ a=e$ となる a’ が存在する

さらに交換法則 $a\circ b=b\circ a$ が成り立つとき、Gは可換群（アーベル群）という。

群の算法が加法のとき（主に可換群で用いる）: 単位元を 0、逆元を −a と書く。